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Nodi. Genesi di una teoria matematica
a cura di Gaetano G. Perlongo





Umberto Bottazzini: La matematica che scioglie i nodi
. Così una pratica millenaria si è trasformata in una vera e propria scienza

Nodi che vengono al pettine. Nodi che affiorano da lontani ricordi scolastici (perché mai Alessandro doveva sciogliere un nodo a Gordio?).
Nodi da carpentieri e da marinai. Il nodo parlato e quello da ormeggio, il nodo piano, il nodo da cammello, il nodo a bandiera. Nodi per ami, gasse, nodi costrittori. Prima di essere oggetto di una teoria matematica, i nodi sono stati frutto di una pratica che si è sviluppata fin dall'antichità. Raffigurazioni di nodi si trovano incise sui megaliti e sulle pietre funerarie delle popolazioni del Neolitico. Intrecci di oscuro significato mistico e religioso sono rappresentati sui menhir. Ancora nel Medioevo nodi e intrecci adornano gli oggetti di culto. Sono le miniature delle Bibbie, i fregi dell'Alhambra a Granada, le cornici di icone nelle chiese ortodosse russe.
Diversi nodi speciali sono poi legati a una delle maggiori invenzioni della tecnologia medioevale, la puleggia e la puleggia multipla, una specie di leva di Archimede a corde che riunisce in sé due grandi invenzioni dell'antichità, la ruota e la corda, e serve per tirare o sollevare carichi di ogni sorta. Con la puleggia, nel Medioevo la corda diviene uno strumento tecnologico universale. Viene messa a punto la complessa procedura di fabbricazione di corde e funi attraverso successivi intrecci di fibre, fili, e trefoli seguendo opportuni procedimenti.
Nel secolo dei Lumi, la tradizione orale nell'insegnamento della creazione di nodi cede il passo a veri e propri manuali. La tecnica dei nodi e la loro terminologia viene codificata in un articolo dell'Encyclopedie di D'Alembert e Diderot. La teoria matematica dei nodi - di questo parla il volumetto di Sossinsky che sarà in libreria nei prossimi giorni - è relativamente recente e fino a una quindicina di anni fa suscitava solo l'interesse di un ristretto gruppo di specialisti in Germania e negli Stati Uniti.
Oggi i nodi sono di moda. La loro teoria matematica interessa i fisici, i biologi, i chimici, oltre che, naturalmente, i matematici. In Francia, assicura Sossinsky, i nouveaux philosophes (che di nuovo non hanno neppure quell'aggettivo, attribuito loro vent'anni fa) e i filosofi postmoderni ne parlano ormai in televisione "con la loro solita incompetenza e faccia tosta". Espressioni come "gruppi quantistici" e "invarianti polinomiali" "si sentono ormai utilizzare, a proposito e a sproposito, da individui di dubbia preparazione scientifica". Perché mai tanto interesse? "Si tratta di una moda passeggera o del fragoroso avvio di una teoria importante quanto la relatività o la meccanica quantistica?" Comunque sia, questo bel libro ci fornisce "le istruzioni per l'uso", presentando "alcune informazioni concrete su un argomento difficile da circoscrivere", legato com'è a "diversi fenomeni curiosi, spesso intrisi di mistero, e di una bellezza talvolta inaspettata e stupefacente". Al lettore non sono richieste conoscenze matematiche avanzate. Piuttosto, dovrà spesso fare ricorso alla propria intuizione spaziale o magari esercitarsi con cordicelle a costruire nodi concreti.
La teoria matematica dei nodi ha origine verso il 1860 nelle riflessioni di William Thomson (il futuro Lord Kelvin) sulla struttura ultima della materia. L'idea di Kelvin era che la materia fosse costituita da "vortex atoms", atomi vortice o mulinello, il cui modello era dato da piccoli nodi.
Per sviluppare la teoria era dunque necessario stabilire quali fossero i diversi tipi possibili di nodi. Una tale classificazione avrebbe fornito una classificazione degli atomi, associando a ogni tipo di nodo un particolare atomo. Fu un seguace di Kelvin, il fisico Peter Tait ad accingersi all'impresa.
Al contrario di quel che accade in pratica, i nodi di cui si occupano i matematici sono curve chiuse nello spazio. L'idea di Tait fu quella di rappresentare un nodo mediante la curva piana che si ottiene proiettandolo perpendicolarmente su un piano orizzontale. Naturalmente tale curva può presentare degli incroci, dove la proiezione di una parte di curva ne interseca un'altra. Il modo naturale, seguito da Tait, per affrontare la classificazione consiste nel costruire una lista di tutte le curve piane a 1, 2, 3, 4,... incroci, eliminando poi le curve che rappresentano lo stesso nodo nello spazio. Ma come si può stabilire se due rappresentazioni piane di nodi rappresentano lo stesso nodo o due nodi diversi? È questo un problema essenziale, che ha portato alla ricerca di invarianti, cioè di strumenti che permettano di associare a ogni rappresentazione piana di un nodo un certo oggetto matematico (un numero, un polinomio) che non vari quando si deforma opportunamente il nodo. L'obiettivo di Tait fu di classificare le curve con al massimo dieci incroci e di considerare solo i nodi alternati, cioè quelli per i quali, seguendo la curva, il filo passa sopra e sotto in maniera alterna a ogni incrocio.
Nonostante questa semplificazione, l'impresa è tale che Tait vi dedica tutta la vita. Quando termina il suo gigantesco lavoro, la teoria di Kelvin è da tempo abbandonata dai fisici. Tait lascia in eredità una serie di problemi e di congetture che i matematici riusciranno a risolvere solo un secolo più tardi. Nei capitoli del suo libro, che si lasciano leggere in maniera indipendente, Sossinsky passa in rassegna i successivi sviluppi della teoria, a cominciare dal fondamentale legame tra nodi e trecce, scoperto dall'americano Alexander mezzo secolo dopo la falsa partenza di Kelvin. Quel legame è dato da una semplice costruzione geometrica, la "chiusura delle trecce", e permette di ottenere tutti i nodi a partire da trecce. La classificazione delle trecce da parte del matematico tedesco Emil Artin lascia sperare di ottenere una analoga classificazione dei nodi. Ma anche in questo caso gli sforzi dei matematici non sono stati coronati da successo. In anni recenti, la scoperta di nuovi invarianti (il polinomio di Jones, gli invarianti di Vasil'ev) ha ridato nuovo impulso alla teoria, di cui si cominciano a intravedere i legami con la fisica quantistica. Ecco perché il libro si chiude con una serie di domande senza risposta. La storia dei nodi è lontana dall'essere conclusa.



Piergiorgio Odifreddi: Antichissimi enigmatici

La vita incomincia con un nodo, fatto dall'ostetrica all'ombelico, e continua con nodi quotidiani di ogni genere: alla cravatta, ai lacci delle scarpe, al fazzoletto, ai capelli, ai pacchi, agli arrosti, al pareo balneare.
Alcune categorie di persone annodano per professione: i marinai le vele, i pescatori le reti, i tessitori i tappeti, gli alpinisti le corde da montagna, i chirurghi i fili di sutura, le infermiere i lacci emostatici, i prestigiatori i fazzoletti, i contorsionisti il proprio corpo. La vita può anche terminare con un nodo, se si finisce strangolati da un cappio come gli impiccati, dal proprio velo come Antigone, o dalla propria sciarpa come Isadora Duncan.
A partire dall'immagine delle Parche, che annodano e snodano il filo del destino, il simbolismo del nodo compare in molte espressioni più o meno metaforiche: bastoni o alberi nodosi, snodi stradali o ferroviari, noduli al seno, membra snodate, nodi alla gola, nodi che vengono al pettine.
Alcuni nodi sono così famosi da avere addirittura un nome proprio: il nodo di Gordio, che Alessandro Magno sciolse barando; il nodo di Ercole, intrecciato dai serpenti nel caduceo di Ermes; i nodi di Salomone, che non hanno "né capo né coda"; il nodo Savoia, che serve a rendere più robusta una cima; il nodo Borromeo, che il cardinale scelse a suo emblema; il nodo Laterza, che compare sulle copertine dei libri dell'omonima casa editrice.
Altri nodi si accontentano invece di un nome comune: il nodo del frate, che si ritrova sia nella corda del saio che nel gatto a nove code; il nodo d'amore, rappresentato dagli orafi nei gioielli; il nodo dell'eternità, che costituisce uno degli otto simboli buddisti venerati dai tibetani; il nodo zen, che troneggia in un tempio di Kyoto.
Gli artistici intrichi che si possono generare intrecciando, annodando e inanellando delle corde generano figure che sono state tradizionalmente usate come motivi ornamentali. Le raffigurazioni di alcune pietre tombali nordiche di 6000 anni fa costituiscono i primi esempi di quella che sarebbe divenuta una tipica arte celtica e irlandese.
I romani hanno fatto un uso regolare di nodi in lastre, capitelli e mosaici. Le miniature medioevali, a partire dal famoso Libro di Kells dell'ottavo secolo, abbondano di meravigliosi esempi di monogrammi annodati.
Il testimone è poi passato alla calligrafia araba, che si è specializzata in stilizzazioni in forma di nodi dei nomi di Allah e Maometto, e di sure del Corano: gli esempi più alti si trovano nell'Alhambra di Granada, e nelle moschee di Isfahan.
Anche gli yantra indiani, sorta di mandala astratti del tipo della stella di David, sono raffigurazioni di nodi. In Occidente i pittori si sbizzarrirono ad annodare il perizoma di Cristo in croce, ma i nodi artistici più famosi sono forse i sei disegnati da Leonardo, una sorta di prova generale per le decorazioni di fogliame intrecciato di un soffitto del Castello Sforzesco, e in seguito ripresi da Dürer.
A testimoniare il perdurare dell'interesse artistico nei nodi ai nostri giorni basteranno tre esempi: il nodo al collo dell'Olympia di Manet, i Sentieri al nodo di Paul Klee, e l'intera opera di Emilio Scanavino.
Anche in letteratura affiorano inaspettatamente dei nodi: nel Paradiso dantesco, dove sono citati almeno tre volte (nei canti VII, XXVIII e XXXIII); nell'Encyclopédie, che dedica loro un articolo dettagliato; nella Storia ingarbugliata di Lewis Carroll e nella Ruota rossa di Alexandr Solgenitsyn, di cui costituiscono rispettivamente i dieci capitoli e i quattro sterminati volumi.
A volte affiorano già nel titolo, come in Nodi di Ronald Laing, classico poetico dell'antipsichiatria, e ne Il nodo e il chiodo di Adriano Sofri, ora lui stesso annodato in carcere.
Con un tale pedigree, non stupisce che ai nodi siano stati dedicati interi libri. Il primo fu scritto molto tempo fa da John Smith, più noto per le sue avventure sentimentali con la principessa indiana Pocahontas. Il classico sull'argomento, Il grande libro dei nodi di Clifford Ashley (Rizzoli, 1989), risale al 1944 ed è illustrato da ben settemila disegni. Il più recente è Nodi di Alexei Sossinsky (Bollati Boringhieri, pagg. 124, lire 35.000), da poco uscito in libreria, e tratta della teoria matematica dei nodi per un pubblico colto ma non specialista. E poiché indica chiaramente l'inizio e la fine delle parti più tecniche, permette una lettura piacevole e agevole anche a chi non sia interessato agli aspetti più esoterici della teoria.
I nodi matematici hanno una lunga storia.
In molte culture antiche, dalla Grecia alla Persia, dalla Cina alle Americhe, i nodi sono stati impiegati in sistemi mnemonici e di calcolo che si configuravano come vere e proprie protoscritture. A parte i rosari tibetani a 108 nodi, usati ancor oggi, i sistemi più noti e raffinati sono i quipu incaici, insiemi di cordicelle colorate e variamente annodate che facevano le funzioni di veri e propri registri contabili, e venivano gestiti da funzionari chiamati "guardiani dei nodi".
Lo stimolo per sviluppare una vera e propria teoria matematica dei nodi venne nel 1867 dalla proposta di Lord Kelvin di considerare gli atomi come nodi dell'etere, analoghi alle volute del fumo nell'aria.
Mentre infatti queste ultime tendono a dissolversi rapidamente, in un fluido perfetto come l'etere i vortici si sarebbero mantenuti indefinitamente, comportandosi come nodi di gomma.
I legami fra atomi sarebbero dunque stati spiegati da reciproci annodamenti, senza bisogno di far intervenire speciali forze atomiche. La proposta stimolò uno studio dei tipi più semplici di nodi, ma cadde in disuso quando Bohr propose invece di considerare gli atomi come sistemi solari in miniatura, tenuti insieme da forze analoghe a quella gravitazionale.
Oggi i nodi sono ritornati di moda nella cosiddetta teoria delle corde, secondo la quale le particelle atomiche sarebbero appunto corde annodate in varie maniere.
I matematici studiano i nodi di Salomone e di ciascuno sognano di poter arrivare a dire, come Dante nell'ultimo canto del Paradiso: "la forma universal di questo nodo credo ch'io vidi". Si tratta, cioè, di riuscire a descrivere i nodi mediante invarianti che ne catturino quella forma universale che rimane immutata quando il nodo viene sottoposto a operazioni che non ne cambiano la natura, allentandolo o stringendolo, e sciogliendone i legami senza romperlo.
Progressi sostanziali sono stati fatti negli ultimi vent'anni, in particolare da Vaugham Jones, Maxim Kontsevich e Richard Borcherds, tutti vincitori di quella Medaglia Fields che costituisce l'analogo del premio Nobel per la matematica, ma il problema di una classificazione completa dei nodi in base a invarianti non è ancora stato risolto completamente.
Alcuni degli invarianti (incompleti) già ottenuti sono stati ispirati dallo studio di fenomeni fisici e biologici, quali il congelamento dell'acqua e le azioni delle cosiddette topoisomerasi, che sono speciali enzimi implicati nel fondamentale processo di duplicazione del Dna. La cosa non sorprende, perché lo stesso Dna è un lungo filamento di geni ripiegato su se stesso, una catena di circa un metro di lunghezza che risiede nel nucleo di una cellula del diametro di 5 milionesimi di metro: più o meno come se un filo di 200 chilometri fosse ripiegato in un pallone da calcio.
Poiché la teoria matematica dei nodi è oggi uno degli strumenti essenziali sia per il fisico delle particelle che per il biologo molecolare, conoscerne almeno i rudimenti è diventato un imperativo categorico per coloro che si interessano di scienza, nel tentativo di sapere come vanno il mondo e la vita. Il libro di Sossinsky arriva a proposito, e fornisce agli uomini di buona volontà gli strumenti per colmare una lacuna nella propria educazione.


Il testo

Alexei Sossinsky, Nodi. Genesi di una teoria matematica, pp. 124, Bollati Boringhieri, 2000.
  


Materiale tratto dal sito: http://lgxserver.uniba.it

 


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