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La Geometria dell'Arte
di Piergiorgio Odifreddi

Ogni cultura ha una sua visione del mondo, che si manifesta in maniera complementare attraverso le descrizioni della sua scienza e le rappresentazioni della sua arte. In particolare, ogni cultura esprime la propria concezione dello spazio in teorie geometriche da un lato, e raffigurazioni pittoriche dall'altro, che riflettono in maniera speculare gli sguardi degli occhi della mente e del corpo, in un dato luogo e un dato tempo. Non può dunque sorprendere che la rivoluzione geometrica iniziata nell'Ottocento, che sconvolse il millenario equilibrio instaurato da Euclide, si sia riflessa nel Novecento in una rivoluzione figurativa che ha a sua volta sconvolto l'altrettanto millenario equilibrio instaurato da Fidia.

Il più immediato degli sconvolgimenti ottocenteschi della geometria euclidea fu la realizzazione della possibilità di aggiungere nuove dimensioni alle tre solite (lunghezza, larghezza e altezza). L'esempio più naturale di questa possibilità è la considerazione del tempo come quarta dimensione, anticipata da Herbert Wells nel 1895 con il romanzo La macchina del tempo, e adottata da Hermann Minkowski nel 1908 con lo spazio-tempo relativistico. Nello spazio-tempo gli oggetti lasciano il posto agli eventi, cioè agli oggetti in moto, e la loro raffigurazione richiede un passaggio dalla statica alla dinamica: un problema non semplice da risolvere sulla tela bidimensionale, che deve ora accomodare non più soltanto la terza dimensione spaziale, ma anche la quarta dimensione temporale.

La rappresentazione pittorica del movimento fu uno dei tratti caratteristici del futurismo, dal Dinamismo di un cane al guinzaglio di Giacomo Balla al Dinamismo di un ciclista di Umberto Boccioni. Una delle espressioni più significative del genere fu raggiunta nel 1912 da Marcel Duchamp, col Nudo che scende le scale. Nelle parole dello stesso Duchamp, quest'opera è ``un dipinto improprio, un'organizzazione di elementi cinetici, un'espressione del tempo e dello spazio attraverso la rappresentazione astratta del movimento''. Per concentrarsi su questo obiettivo, la figura umana viene ridotta a un manichino dai colori del legno. E per raggiungerlo, il dinamismo viene congelato in una sovraimpressione di istantanee, che trasforma il quadro in una sequenza cinematografica o in una fotografia sovraesposta, come quella che la rivista Life scattò all'artista stesso molti anni dopo, nel 1952, intitolandola appropriatamente Duchamp che scende le scale.

Da un punto di vista geometrico, rappresentare un evento quadridimensionale mediante una successione di istantanee equivale a considerare il tempo come una dimensione lungo la quale far scorrere le sezioni tridimensionali dell'evento. Lo stesso trucco si può usare per rappresentare oggetti tridimensionali, mediante una successione delle loro sezioni bidimensionali. Naturalmente, ci vuole immaginazione per risalire dalle sezioni all'oggetto stesso. Ad esempio, le sezioni di una sfera che attraversa un piano nella direzione di un suo asse sono cerchi corrispondenti ai paralleli: partendo da un punto corrispondente a un polo, essi si allargano fino a un cerchio massimo corrispondente all'equatore e si restringono di nuovo fino a un punto corrispondente all'altro polo. Di questo genere sono appunto le percezioni degli esseri bidimensionali di Flatlandia, il romanzo che Edwin Abbott scrisse nel 1884 come introduzione alla geometria a più dimensioni.

A causa della sua altissima simmetria, le sezioni di una sfera sono particolarmente semplici e uniformi. Ma già quelle di un cubo rispetto a un piano inclinato, che vanno dai triangoli agli esagoni, sono molto più difficili da trovare ed enigmatiche da interpretare. Quando poi si passi dagli oggetti regolari e semplici della matematica a quelli irregolari e complessi della natura, la difficoltà e la complessità esplodono. Esse sono state coraggiosamente affrontate dal cubismo, che si può appunto considerare come il tentativo pittorico di rappresentare un oggetto tridimensionale attraverso una molteplicità di sue sezioni bidimensionali. Il riduzionismo geometrico del cubismo, prefigurato da Paul Cézanne e annunciato da Les demoiselles d'Avignon, esplose fra il 1907 e il 1914 nelle opere di Georges Braque e Pablo Picasso. Uno degli esempi più tipici del periodo cubista di quest'ultimo è il Ritratto di Ambroise Vollard, del 1910, in cui la figura appare come in uno specchio spezzato: ogni scheggia riflette una sezione del volto o del busto secondo un piano diverso, e la tridimensionalità è completamente delegata a una ricomposizione mentale delle varie vedute bidimensionali (in accordo col motto di Picasso: ``io dipingo ciò che penso, non ciò che vedo'').

Invece che attraverso sezioni, una rappresentazione alternativa di un oggetto tridimensionale si può anche ottenere schiacciandolo appropriatamente sul piano. Ad esempio, un cubo si può tagliare lungo gli spigoli e aprire in modo da farlo diventare una croce composta di sei quadrati. Analogamente, si può immaginare di tagliare un ipercubo quadridimensionale in modo da aprirlo nello spazio: il risultato è una croce composta di otto cubi, che Salvador Dalì raffigurò nel 1954 in Crocifissione. La croce è appunto il dispiegamento di un ipercubo, il che spiega il sottotitolo del quadro: Corpus Hypercubicus. E il corpo di Cristo fluttua di fronte alla croce perché essa va pensata chiusa su se stessa nello spazio a quattro dimensioni, con le strane proprietà descritte nel divertente racconto di fantascienza La casa nuova di Robert Heinlein, che si può leggere nell'antologia Le meraviglie del possibile (Einaudi, 1973).

Nell'Ottocento una rivoluzione geometrica ancora più radicale fu ottenuta andando a intaccare non il numero di dimensioni dello spazio, ma le sue proprietà intrinseche. In particolare, lasciando cadere il famoso quinto postulato di Euclide, che limita a uno il numero delle parallele a una retta data passanti per un punto. Se si permettono due (e dunque infinite) parallele, invece di una sola, si ottiene la cosiddetta geometria iperbolica, che ha conseguenze traumatiche nel campo dell'arte figurativa. Ad esempio, non esistono più né linee equidistanti, né triangoli simili di dimensioni diverse, né rettangoli (e, dunque, neppure quadrati). La somma degli angoli di un triangolo non è né costante, né uguale a centottanta gradi. L'area di un triangolo non dipende più soltanto dalla base e dall'altezza. Per tre punti non collineari non passa necessariamente un cerchio, e così via.

Poiché non solo nella pratica pittorica, ma anche nella teoria filosofica, in particolare nella Critica della ragion pura di Immanuel Kant, si era sempre ritenuto che lo spazio visivo fosse euclideo, si poteva pensare che la geometria iperbolica fosse un'invenzione matematica senza interesse artistico. E invece nel 1947 Rudolf Lunenberg ha scoperto che lo spazio visivo non solo non è affatto euclideo, ma è precisamente iperbolico. Il che significa che le rappresentazioni che gli rendano giustizia appariranno necessariamente distorte a chi sia assuefatto a un'arte classica basata su canoni euclidei.

I primi artisti disposti a dimenticare questi canoni e a ripartire da zero, nel tentativo di dipingere non ciò che l'occhio dovrebbe vedere secondo la teoria, ma ciò che effettivamente vede nella pratica, furono gli impressionisti. Un bell'esempio di come le percezioni arrivano iperboliche al cervello, prima che esso le rielabori per costringerle in schemi euclidei prefissati, è costituito dalla Camera di Van Gogh di Arles, del 1889, che nelle intenzioni dichiarate dell'artista ``dovrebbe far pensare a quiete o, più in generale, al sonno. In breve, guardare il quadro dovrebbe avere l'effetto di calmare la mente, o meglio, la fantasia''. Il risultato è invece un misto di inquietudine e di straniamento, provocato appunto dall'epoché dei riferimenti sovrastrutturali e culturali.

Lo scardinamento della geometria tridimensionale euclidea ottenuto attraverso l'introduzione di nuove dimensioni da un lato, e di proprietà non euclidee dall'altro, stimolò lo sviluppo di una geometria astratta, che fu assiomatizzata nel 1899 dai classici Fondamenti di geometria di David Hilbert. L'analogo, e per molti versi parallelo, scardinamento della pittura tradizionale figurativa provocato dall'impressionismo, dal futurismo e, soprattutto, dal cubismo fecondò a sua volta il concepimento di una pittura astratta, che fu assiomatizzata nel 1926 dall'influente Punto, linea e piano di Wassily Kandinsky.

Il costruttivismo abbandonò completamente l'imitazione, più o meno concreta, della natura e dell'uomo e si dedicò invece alla rappresentazione, più o meno geometrica, del mondo delle idee. I risultati più significativi di questa singolare confluenza tra arte e matematica furono raggiunti dal Bauhaus di Kandinsky, dal De Stijl di Piet Mondrian e dal Suprematismo di Kasimir Malevich, le cui opere raffigurano un mondo spirituale in cui le forme pure hanno preso il posto degli oggetti. Il processo di progressiva astrazione che porta dalla natura alla geometria è emblematicamente illustrato da una coppia di quadri di Mondrian del 1912, L'albero grigio e Melo in fiore: mentre nel primo l'albero è ancora visibile, benché ormai ridotto alla sua essenza, nel secondo si è ormai completamente smaterializzato.

Naturalmente, sia in matematica che in arte, l'astrazione comporta dei rischi: oltre un certo limite si arriva infatti alla dissoluzione totale del contenuto e alla perdita completa del significato. La matematica ha sviluppato, di recente, un'intera teoria che rende conto del caos e che riduce, sostanzialmente, la differenza fra i fenomeni caotici e quelli che non lo sono, al fatto che i primi non possono essere descritti in maniera compressa e i secondi sì. Ad esempio, una sequenza consistente di un 1 seguito da un milione di 0 non è affatto caotica: non solo in senso intuitivo, com'è evidente, ma anche nel senso tecnico appena definito, perché la descrizione che ne abbiamo dato è sostanzialmente più corta della sequenza stessa. Una sequenza di un milione di 0 o 1, di cui ciascuna cifra viene decisa dal tiro di una moneta, è invece sia intuitivamente che tecnicamente caotica: l'unico modo per descriverla è di dire quali sono le sue cifre, una per una.

Nell'arte si verifica un fenomeno analogo: più un'opera è complessa, più si avvicina al caos. è il caso del free jazz in musica o dell'espressionismo astratto in pittura, consistenti entrambi di strutture irrepetibili e spesso indistinguibili, che possono soltanto essere mostrate ma non descritte. Un esempio tipico è Luce bianca di Jackson Pollock, che compare appunto sulla copertina del classico disco Free Jazz di Ornette Coleman, del 1960, da cui il genere prese il nome. La tela consiste semplicemente di un intrico di colori ottenuti spremendo liberamente i tubetti sulla tela, così come il disco registra le libere improvvisazioni di un doppio quartetto di musicisti. Il titolo della tela sta ad indicare che, come i colori diventano indistinguibili e perdono la loro identità nell'amalgama della luce bianca, così le pennellate e i suoni di questo punto d'arrivo dell'arte si riducono a un puro raggio abbagliante, quando non semplicemente a un abbaglio.

Piergiorgio Odifreddi è docente di Logica a Torino (e presso la Cornell University di New York). Giornalista e collaboratore de La Repubblica, recentemente ha pubblicato "Il Vangelo secondo la scienza" (Einaudi, 1999) , "La Matematica del novecento" (Einaudi, 2000) e "Il computer di Dio" (Cortina, 2000).

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Home Page:
http://www.vialattea.net/odifreddi/index.html
Articoli su "Repubblica":
http://lgxserver.uniba.it/lei/rassegna/odifredd.htm
Articoli su "Pristem":
http://matematica.uni-bocconi.it/indice/indiceodifreddi.htm

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Il prof. Piergiorgio Odifreddi ha concesso questo saggio a Gaetano G. Perlongo, per tenere un convegno maieutico sulla geometria pluridimensionale.

 


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